RootLattice

Noboru Nawashiro

0.1 reflection groupsとroot lattices

ここで登場する記号はMathlibとは関係ない独立したものであり，証明もMathlibのものとは異なる場合がある．

以下，$V$を$\mathbb {R}^n$のsubspaceとし，$\alpha , \beta \in V$の内積を$\left\langle \alpha , \beta \right\rangle $と書き，$\alpha $のノルムを$\left\| \alpha \right\| = \sqrt{\left\langle \alpha , \alpha \right\rangle }$と書く．

定義 0.1.1

$f : V \rightarrow V$を線型写像とする．このとき，$f$が直交変換であるとは，

\begin{equation} \left\langle f(\alpha ), f(\beta ) \right\rangle = \left\langle \alpha , \beta \right\rangle \end{equation}

0.1.1

が成り立つことである．また，$V$上の直交変換全体の集合を$O(V)$と書く．

注意 0.1.2

✓

定義から$\left\| f(\alpha ) \right\| = \left\| \alpha \right\| $がすぐわかる．

注意 0.1.3

$f \in O(\mathbb {R}^n)$とする． $O(n) := \left\lbrace A \mathrel {} \middle | \mathrel {} {}^t\! A A = I_n \right\rbrace $ (i.e., 直交行列全体)とすると，$A \in O(n)$を用いて$f(x) = Ax$と表せる．よって，次の1対1対応がある：

\begin{equation} \begin{array}{ccc} O(n) & \xleftrightarrow [\text{one-to-one}]{\simeq } & O(\mathbb {R}^n) \\ \rotatebox [origin=c]{90}{$\in $} & & \rotatebox [origin=c]{90}{$\in $} \\ A & \longleftrightarrow & f(x) = Ax \end{array} \end{equation}

0.1.2

以下，$\bm {k}$を$\mathbb {R}$または$\mathbb {C}$とし(Leanでは$\mathtt{RCLike}$)，$E$を$\bm {k}$-内積空間，$K$を$E$の$\bm {k}$-部分加群とする．

定義 0.1.4

✓

$\forall v \in E,\ \exists w \in K \ \text{s.t.}\ v - w \in K^\perp $とする．線型連続写像$\operatorname {proj}_K : E \rightarrow K; \operatorname {proj}_K(v) = w$を正射影(projection)という．すなわち，$x \in E$を$x = \operatorname {proj}_K(x) + (x - \operatorname {proj}_K(x)) \in K \oplus K^\perp $と書ける．

定理 0.1.5

✓

任意の$v, w \in E$に対して次が成り立つ：

\begin{equation} \operatorname {proj}_{\bm {k}v}(w) = \frac{\left\langle v, w \right\rangle }{\left\| v \right\| ^2} v. \end{equation}

0.1.3

Proof ▶

略．

定義 0.1.6

✓

次の直交変換をreflectionという：

\begin{equation} s_K : E \rightarrow E;\ x \mapsto 2 \cdot \operatorname {proj}_K(x) - x. \end{equation}

0.1.4

定理 0.1.7

✓

任意の$u, v \in E$に対し，次が成り立つ：

\begin{equation} s_{\bm {k}u}(v) = 2 \frac{\left\langle u, v \right\rangle }{\left\| u \right\| ^2}u - v. \end{equation}

0.1.5

Proof ▶

略．

注意 0.1.8

以前，$\alpha $に関するreflectionは

\begin{equation} s_\alpha (\lambda ) = \lambda - 2\frac{\left\langle \alpha , \lambda \right\rangle }{\left\langle \alpha , \alpha \right\rangle } \alpha . \end{equation}

0.1.6

と表せることを見た．定理 0.1.7からわかるように，$s_{\bm {k}\alpha }$は$s_\alpha $と逆向き(すなわち，$s_\alpha = s_{H_\alpha } = s_{(\mathbb {R}\alpha )^\perp }$)である．

定理 0.1.9

✓

任意の$x \in E$に対して次が成り立つ：

\begin{equation} s_K(x) = x \iff x \in K. \end{equation}

0.1.7

Proof ▶

略．

定理 0.1.10

✓

$E'$を$\bm {k}$-内積空間，$f : E \rightarrow E'$を線形同型な等長写像(すなわち，$\left\| f(x) \right\| = \left\| x \right\| $)とする．このとき，任意の$x \in E'$に対して次が成り立つ：

\begin{equation} s_{f(K)}(x) = f(s_K(f^{-1}(x))). \end{equation}

0.1.8

Proof ▶

略．

定理 0.1.11

✓

任意の$v \in E$に対し，$v \in K^\perp $なら$s_K(v) = -v$である．

Proof ▶

略．

定義 0.1.12

$O(V)$の部分群$W$が次を満たすとき，$W$をfinite reflection groupという：

$W$はfinite group,
$W$はreflectionsで生成される，すなわち

\begin{equation} \forall w \in W,\ \exists s_{\alpha _1}, \ldots , s_{\alpha _r} \in W \textrm{: reflections} \ \text{s.t.}\ w = s_{\alpha _1} \cdots s_{\alpha _r}. \end{equation}
0.1.9

注意 0.1.13

$s_\alpha ^2 = 1.$

定義 0.1.14

finite reflection group $W$が次を満たすとき，$W$はessentialであるという：

\begin{equation} \operatorname {Fix}(W) := \left\lbrace \lambda \in V \mathrel {} \middle | \mathrel {} \forall w \in W,\ w(\lambda ) = \lambda \right\rbrace = \{ 0\} . \end{equation}

0.1.10

注意 0.1.15

$W$がessentialでないとき，$V = \operatorname {Fix}(W) \oplus \operatorname {Fix}(W)^\perp $である．また，部分空間$\operatorname {Fix}(W)^\perp $上では$W$はessentialである．

定義 0.1.16

空でない$V$の有限部分集合$\Phi $が次を満たすとき，$\Phi $をroot systemという：

$\Phi $は$V$を生成する,
$\forall \alpha \in \Phi ,\ \mathbb {R}\alpha \cap \Phi = \{ \pm \alpha \} $,
$\forall \alpha , \beta \in \Phi ,\ s_\beta (\alpha ) \in \Phi $.

また，$\Phi $の元をroot vector，または単にrootという．

定義 0.1.17

root system $\Phi $が次を満たすとき，crystallographicであるという：

$\forall \alpha , \beta \in \Phi ,\ 2 \dfrac {\left\langle \alpha , \beta \right\rangle }{\left\langle \alpha , \alpha \right\rangle } \in \mathbb {Z}$.

finite reflection groupが与えられると，それに対応するroot systemが存在する：

命題 0.1.18

$W$をessential finite reflection groupとする．このとき，$\Phi := \left\lbrace \alpha \in V \mathrel {} \middle | \mathrel {} \left\| \alpha \right\| = 1,\ s_\alpha \in W \right\rbrace $はroot systemである．

Proof ▶

1を示すために，$\operatorname {Fix}(W) = \bigcap _{\alpha \in \Phi } H_\alpha $を示す：

$(\subseteq )$任意に$\lambda \in \operatorname {Fix}(W),\ \alpha \in \Phi $をとると，$s_\alpha \in W$であるから$s_\alpha (\lambda ) = \lambda $である．よって，

\begin{equation} \left\langle \alpha , \lambda \right\rangle = \left\langle \alpha , s_\alpha (\lambda ) \right\rangle = \left\langle s_\alpha ^{-1}(\alpha ), \lambda \right\rangle = \left\langle s_\alpha (\alpha ), \lambda \right\rangle = \left\langle -\alpha , \lambda \right\rangle = -\left\langle \alpha , \lambda \right\rangle . \qquad \therefore \left\langle \alpha , \lambda \right\rangle = 0. \end{equation}

0.1.11

したがって，$\lambda \in H_\alpha $である．

$(\supseteq )$ $\lambda \in \bigcap _{\alpha \in \Phi } H_\alpha $とする．任意に$w \in W$をとり，$w = s_{\alpha _1} \cdots s_{\alpha _r}$とreflectionsの積で書く．ただし，$\left\| \alpha _1 \right\| = \cdots = \left\| \alpha _r \right\| = 1$としておく．すると，$\alpha _1, \ldots , \alpha _r \in \Phi $であるから，$\lambda \in H_{\alpha _i}$である．よって，

\begin{equation} w(\lambda ) = (s_{\alpha _1} \cdots s_{\alpha _{r-1}} s_{\alpha _r})(\lambda ) = (s_{\alpha _1} \cdots s_{\alpha _{r-1}})(\lambda ) = \cdots = \lambda . \end{equation}

0.1.12

よって，$W$はessentialだから，

\begin{equation} \{ 0\} = \operatorname {Fix}(W) = \bigcap _{\alpha \in \Phi } H_\alpha . \end{equation}

0.1.13

したがって，

\begin{equation} V = \operatorname {Fix}(W)^\perp = \left( \bigcap _{\alpha \in \Phi } H_\alpha \right)^\perp = \sum _{\alpha \in \Phi } H_\alpha ^\perp = \sum _{\alpha \in \Phi } \mathbb {R}\alpha \end{equation}

0.1.14

であるから$\Phi $は$V$を生成する．

2は$\left\| \alpha \right\| = 1$からわかる．

3を示す． $\forall \alpha , \beta \in \Phi $に対し，$\left\| s_\beta (\alpha ) \right\| = \left\| \alpha \right\| = 1$である．また，補題 ??より，$s_{s_\beta (\alpha )} = s_\beta s_\alpha s_\beta ^{-1} \in W$である．よって，$s_\beta (\alpha ) \in \Phi $が成り立つ．

逆に，root systemが与えられると，それに対応するfinite reflection groupが存在する：

命題 0.1.19

$\Phi \subseteq V$をroot systemとする．このとき，$\left\lbrace s_\alpha \mathrel {} \middle | \mathrel {} \alpha \in \Phi \right\rbrace $が生成する群$W_\Phi $はessential finite reflection groupである．

Proof ▶

命題 0.1.18の証明中1で，$\Phi = \{ \alpha _1 \ldots , \alpha _r\} $とし，$W$を$W_\Phi $と読み替えれば$\operatorname {Fix}(W_\Phi ) = \bigcap _{\alpha \in \Phi } H_\alpha $が成り立つ．よって，$\Phi $は$V$を生成するから$\operatorname {Fix}(W_\Phi )^\perp = \sum _{\alpha \in \Phi } \mathbb {R}\alpha = V$である．したがって，$W_\Phi $はessentialである．

あとは$W_\Phi $が有限であることを示せば良い． 3より，$\forall \alpha \in \Phi ,\ s_\alpha (\Phi ) = \Phi $であるから$\forall w \in W,\ w(\Phi ) = \Phi $である．すなわち，$w$は$\Phi $上の置換とみなせる．よって，

\begin{equation} \begin{array}{rccc} p:& W_\Phi & \longrightarrow & \operatorname {Perm}(\Phi ) \\ & \rotatebox [origin=c]{90}{$\in $} & & \rotatebox [origin=c]{90}{$\in $} \\ & w & \longmapsto & (\alpha \mapsto w(\alpha )) \end{array} \end{equation}

0.1.15

と定めると，これはgroup homである($\operatorname {Perm}(\Phi )$は$\Phi $の置換群)．これが単射であることを示せば，$\left| W_\Phi \right| \le \left| \operatorname {Perm}(\Phi ) \right| {\lt} \infty $が示せる．

\begin{align} w \in \operatorname {Ker}p & \iff \forall \alpha \in \Phi ,\ w(\alpha ) = \alpha \\ & \iff w = 1 \end{align}

であるから，$\operatorname {Ker}p = \{ 1\} $であり，単射であることが示せた．

root systemはfinite reflection groupの生成系を与えているが，群の生成元の個数はできるだけ少なくしたい．そこで，root systemを“うまく”取る方法を考える．

定義 0.1.20

$\Phi \subseteq V$をroot systemとし，$p \in V \setminus \{ 0\} $は$\forall \alpha \in \Phi ,\ \left\langle \alpha , p \right\rangle \ne 0$を満たすとする．このとき，$\Pi := \left\lbrace \alpha \in \Phi \mathrel {} \middle | \mathrel {} \left\langle \alpha , p \right\rangle {\gt} 0 \right\rbrace $をpositive root systemという．

注意 0.1.21

$\Pi $は$p$の取り方による．

定義 0.1.22

$\Pi $をpositive root systemとする． $\Delta \subseteq \Pi $が次を満たすとき，$\Delta $をsimple root systemという：

$\Delta $は$V$の基底,
$\forall \alpha \in \Pi ,\ \exists c_\beta \ge 0 \ \text{s.t.}\ \alpha = \sum _{\beta \in \Delta } c_\beta \beta $.

simple root systemは必ず存在し，しかも一意である：

事実 0.1.23

$\Phi $をroot system，$\Pi $をpositive root systemとする．

$\exists ! \Delta \subseteq \Phi $ : simple root system,
$W_\Phi $は$\left\lbrace s_\alpha \mathrel {} \middle | \mathrel {} \alpha \in \Delta \right\rbrace $で生成される．

以下，essential finite reflection group $W$に対し，そのroot systemを$\Phi $，そのsimple root systemを$\Delta $とする．また，$\alpha , \beta \in \Delta $に対し，$m(\alpha , \beta )$を$s_\alpha s_\beta $の位数，$c(\beta , \alpha ) = 2\dfrac {\left\langle \beta , \alpha \right\rangle }{\left\langle \alpha , \alpha \right\rangle }$とする．

注意 0.1.24

$s_\alpha ^2 = 1$より$m(\alpha , \alpha ) = 1$である．また，$s_\beta s_\alpha = (s_\alpha s_\beta )^{-1}$より$m(\alpha , \beta ) = m(\beta , \alpha )$である．

補題 0.1.25

$\alpha \ne \beta \in \Delta $とする．このとき，次が成り立つ：

\begin{equation} \left\langle \alpha , \beta \right\rangle = -\left\| \alpha \right\| \left\| \beta \right\| \cos \frac{\pi }{m(\alpha , \beta )}. \end{equation}

0.1.18

命題 0.1.26

$\alpha $と$\beta $は線型独立とする．$\Phi $がcrystallographicなとき，$m(\alpha , \beta ) = 2, 3, 4, 6$である．

Proof ▶

補題 0.1.25より，

\begin{equation} c(\beta , \alpha ) = 2\frac{\left\langle \beta , \alpha \right\rangle }{\left\langle \alpha , \alpha \right\rangle } = 2\frac{-\left\| \alpha \right\| \left\| \beta \right\| \cos \frac{\pi }{m(\alpha , \beta )}}{\left\| \alpha \right\| ^2} = -2\frac{\left\| \beta \right\| }{\left\| \alpha \right\| } \cos \frac{\pi }{m(\alpha , \beta )} \end{equation}

0.1.19

であるから，

\begin{equation} c(\alpha , \beta ) c(\beta , \alpha ) = \left( -2\frac{\left\| \alpha \right\| }{\left\| \beta \right\| } \cos \frac{\pi }{m(\beta , \alpha )} \right) \left( -2\frac{\left\| \beta \right\| }{\left\| \alpha \right\| } \cos \frac{\pi }{m(\alpha , \beta )} \right) = 4\cos ^2 \frac{\pi }{m(\alpha , \beta )} \end{equation}

0.1.20

である． $\Phi $はcrystallographic，すなわち$c(\alpha , \beta ), c(\beta , \alpha ) \in \mathbb {Z}$であるから，$c(\alpha , \beta ) c(\beta , \alpha ) = 0, 1, 2, 3, 4$である．

$c(\alpha , \beta ) c(\beta , \alpha ) = 4$のとき，$m(\alpha , \beta ) = 1$となるが，これは$\alpha $と$\beta $の線型独立性に矛盾する．

$c(\alpha , \beta ) c(\beta , \alpha ) = 0, 1, 2, 3$のとき，それぞれ次のようになる：

Table 1 $c(\alpha , \beta ) c(\beta , \alpha )$と$m(\alpha , \beta )$の関係

$c(\alpha , \beta ) c(\beta , \alpha )$	$\cos ^2 \frac{\pi }{m(\alpha , \beta )}$	$\cos \frac{\pi }{m(\alpha , \beta )}$	$m(\alpha , \beta )$
$0$	$0$	$0$	$2$
$1$	$1/4$	$1/2$	$3$
$2$	$1/2$	$1/\sqrt2$	$4$
$3$	$3/4$	$\sqrt{3}/2$	$6$

定義 0.1.27

$\Delta = \{ \alpha _1, \ldots , \alpha _r\} $とする．このとき，$r$次正方行列$C := (c(\alpha _i, \alpha _j))$を$\Phi $のCartan matrixという．

定義 0.1.28

$\Delta = \{ \alpha _1, \ldots , \alpha _r\} $とする．このとき，$\Phi $のCoxeter diagramを次のように定義する：

$r$個の頂点を持つ，
頂点$i$と頂点$j$は$m(\alpha _i, \alpha _j)$と書かれた辺で結ぶ，
特に，$m(\alpha _i, \alpha _j) = 2, 3, 4, 6$のときは，2の代わりに表 1で対応する$c(\alpha _i, \alpha _j) c(\alpha _j, \alpha _i)$本の辺で結ぶ．

定義 0.1.29

Coxeter diagramに次の条件を追加したものをCoxeter-Dynkin diagramという：

$\left| c(\alpha _i, \alpha _j) \right| {\lt} \left| c(\alpha _j, \alpha _i) \right|$のとき，頂点$i$から頂点$j$に向きをつける．

定義 0.1.30

root system $\Phi $で生成されるlattice，すなわち次の集合$\Lambda $をroot latticeという：

\begin{equation} \Lambda := \left\lbrace \sum _{i=1}^{r} s_i \alpha _i \mathrel {} \middle | \mathrel {} \alpha _i \in \Phi ,\ s_i \in \mathbb {Z} \right\rbrace . \end{equation}

0.1.21

0.2 $E_8$ lattice

定義 0.2.1

✓

$E_8$格子とは，integralLatticeであって，even unimodularかつランクが$8$であるもののことである．

定理 0.2.2

2つの$E_8$格子$\Lambda _1,\ \Lambda _2$は同型である．

Proof ▶

sorry.

定義 0.2.3

✓

$E_8$のCartan行列を$M_0$，それを1行ずつ行基本変形していき(その過程の行列を$M_1, M_2, \ldots , M_6$とする)上三角にしたものを$M_7$とする：

\begin{gather} M_0 := \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix},\\ M_7 := \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3/2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5/6 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4/5 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3/4 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2/3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/2 \end{pmatrix}. \end{gather}

補題 0.2.4

✓

$M_7$は上三角である．

Proof ▶

略．

補題 0.2.5

✓

$\det M_7 = 1$である．

Proof ▶

補題 0.2.4より，$M_7$の行列式は対角成分たちの積であるから

\begin{equation} \det M_7 = 2 \cdot 2 \cdot (3 / 2) \cdot (5 / 6) \cdot (4 / 5) \cdot (3 / 4) \cdot (2 / 3) \cdot (1 / 2)\\ = 1. \end{equation}

0.2.3

定理 0.2.6

$E_8$のCartan行列の行列式は$1$である．

Proof ▶

補題 0.2.5より

\begin{equation} (\textrm{求める行列式}) = \det M_0 = \det M_1 = \cdots = \det M_7 = 1. \end{equation}

0.2.4

定義 0.2.7

✓

$B$を$E_8$のCartan行列$C (= M_0) \in \operatorname {M}_8(\mathbb {Z})$から定まる双線型形式とする：

\begin{equation} B(x, y) := {}^t\! x C y = \left\langle x, Cy \right\rangle \qquad (\forall x, y \in \mathbb {Z}^8). \end{equation}

0.2.5

補題 0.2.8

✓

任意の$x \in \mathbb {Z}^8$に対し，次が成り立つ：

\begin{equation} \begin{split} B(x, x) ={}& 2 (x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2 + x_6^2 + x_7^2\\ & - (x_0 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 + x_3 x_4 + x_4 x_5 + x_5 x_6 + x_6 x_7)) \end{split} \end{equation}

0.2.6

Proof ▶

内積の形にして，あとは具体的に計算：

\begin{equation} B(x, x) = \left\langle x, Cx \right\rangle = (\textrm{右辺}). \end{equation}

0.2.9

補題 0.2.9

✓

任意の$x \in \mathbb {Z}^8$に対し，平方完成すると次のようになる：

\begin{equation} \begin{split} B(x, x) ={}& \left( \sqrt{2} \, x_0 - \sqrt{\frac{1}{2}} \, x_2 \right)^2 + \left( \sqrt{2} \, x_1 - \sqrt{\frac{1}{2}} \, x_3 \right)^2 + \left( \sqrt{\frac{3}{2}} \, x_2 - \sqrt{\frac{2}{3}} \, x_3 \right)^2 \\ & + \left( \sqrt{\frac{5}{6}} \, x_3 - \sqrt{\frac{6}{5}} \, x_4 \right)^2 + \left( \sqrt{\frac{4}{5}} \, x_4 - \sqrt{\frac{5}{4}} \, x_5 \right)^2 + \left( \sqrt{\frac{3}{4}} \, x_5 - \sqrt{\frac{4}{3}} \, x_6 \right)^2 \\ & + \left( \sqrt{\frac{2}{3}} \, x_6 - \sqrt{\frac{3}{2}} \, x_7 \right)^2 + \frac{1}{2} \, x_7^2 \end{split} \end{equation}

0.2.10

Proof ▶

左辺に補題 0.2.8を代入して計算すれば得られる．

定理 0.2.10

✓

$\forall x, y, z \in \mathbb {Z}^8,\ B(x+y, z) = B(x, z) + B(y, z)$.

Proof ▶

計算するだけ．

定理 0.2.11

✓

$\forall x, y \in \mathbb {Z}^8,\ B(x, y) = B(y, x)$.

Proof ▶

計算するだけ．

定理 0.2.12

✓

$\forall x \in \mathbb {Z}^8,\ B(x, x) \ge 0$.

Proof ▶

補題 0.2.9より，$B(x, x)$は平方の和で表せるから成り立つ．

定理 0.2.13

✓

$\forall x \in \mathbb {Z}^8,\ B(x, x) = 0 \implies x = 0$.

Proof ▶

補題 0.2.9より，$B(x, x)$は平方の和で表せ，$= 0$とすると各項が$0$である．よって，最後の項に注目すると，$x_7 = 0$である．したがって，最後から2番目の項に注目すると，$x_6 = 0$である．これを繰り返すと，$x_0 = \cdots = x_7 = 0$を得る．

定理 0.2.14

✓

$\forall x \in \mathbb {Z}^8,\ 2 \mid \left\langle x, x \right\rangle _{\mathbb {Z}}$.

Proof ▶

補題 0.2.8より従う．

定理 0.2.15

$E_8$格子はunimodularである．

Proof ▶

sorry.

定理 0.2.16

$E_8$格子は存在する．

Proof ▶

sorry.

定理 0.2.17

$E_8$格子$\Lambda $に対し，$\forall n \in \mathbb {N},\ \# \left\lbrace x \in \Lambda \mathrel {} \middle | \mathrel {} B(x, x) = n \right\rbrace {\lt} \infty $.

Proof ▶

sorry.

補題 0.2.18

$E_8$格子$\Lambda $に対し，$\# \left\lbrace x \in \Lambda \mathrel {} \middle | \mathrel {} B(x, x) = 2 \right\rbrace = 240$.

Proof ▶

sorry.

\(c(\alpha , \beta ) c(\beta , \alpha )\)	\(\cos ^2 \frac{\pi }{m(\alpha , \beta )}\)	\(\cos \frac{\pi }{m(\alpha , \beta )}\)	\(m(\alpha , \beta )\)
\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(2\)
\(1\)	\(1/4\)	\(1/2\)	\(3\)
\(2\)	\(1/2\)	\(1/\sqrt2\)	\(4\)
\(3\)	\(3/4\)	\(\sqrt{3}/2\)	\(6\)

RootLattice

0.1 reflection groupsとroot lattices

0.2 \(E_8\) lattice