RootLattice

Noboru Nawashiro

0.1 reflection groupsとroot lattices

ここで登場する記号はMathlibとは関係ない独立したものであり,証明もMathlibのものとは異なる場合がある.

以下,\(V\)を\(\mathbb {R}^n\)のsubspaceとし,\(\alpha , \beta \in V\)の内積を\(\left\langle \alpha , \beta \right\rangle \)と書き,\(\alpha \)のノルムを\(\left\| \alpha \right\| = \sqrt{\left\langle \alpha , \alpha \right\rangle }\)と書く.

定義 0.1.1
#

\(f : V \rightarrow V\)を線型写像とする. このとき,\(f\)が直交変換であるとは,

\begin{equation} \left\langle f(\alpha ), f(\beta ) \right\rangle = \left\langle \alpha , \beta \right\rangle \end{equation}
0.1.1

が成り立つことである. また,\(V\)上の直交変換全体の集合を\(O(V)\)と書く.

注意 0.1.2
#

定義から\(\left\| f(\alpha ) \right\| = \left\| \alpha \right\| \)がすぐわかる.

注意 0.1.3
#

\(f \in O(\mathbb {R}^n)\)とする. \(O(n) := \left\lbrace A \mathrel {} \middle | \mathrel {} {}^t\! A A = I_n \right\rbrace \) (i.e., 直交行列全体)とすると,\(A \in O(n)\)を用いて\(f(x) = Ax\)と表せる. よって,次の1対1対応がある:

\begin{equation} \begin{array}{ccc} O(n) & \xleftrightarrow [\text{one-to-one}]{\simeq } & O(\mathbb {R}^n) \\ \rotatebox [origin=c]{90}{$\in $} & & \rotatebox [origin=c]{90}{$\in $} \\ A & \longleftrightarrow & f(x) = Ax \end{array} \end{equation}
0.1.2

以下,\(\bm {k}\)を\(\mathbb {R}\)または\(\mathbb {C}\)とし(Leanでは\(\mathtt{RCLike}\)),\(E\)を\(\bm {k}\)-内積空間,\(K\)を\(E\)の\(\bm {k}\)-部分加群とする.

定義 0.1.4
#

\(\forall v \in E,\ \exists w \in K \ \text{s.t.}\ v - w \in K^\perp \)とする. 線型連続写像\(\operatorname {proj}_K : E \rightarrow K; \operatorname {proj}_K(v) = w\)を正射影(projection)という. すなわち,\(x \in E\)を\(x = \operatorname {proj}_K(x) + (x - \operatorname {proj}_K(x)) \in K \oplus K^\perp \)と書ける.

定理 0.1.5
#

任意の\(v, w \in E\)に対して次が成り立つ:

\begin{equation} \operatorname {proj}_{\bm {k}v}(w) = \frac{\left\langle v, w \right\rangle }{\left\| v \right\| ^2} v. \end{equation}
0.1.3

Proof

略.

定義 0.1.6
#

次の直交変換をreflectionという:

\begin{equation} s_K : E \rightarrow E;\ x \mapsto 2 \cdot \operatorname {proj}_K(x) - x. \end{equation}
0.1.4

定理 0.1.7
#

任意の\(u, v \in E\)に対し,次が成り立つ:

\begin{equation} s_{\bm {k}u}(v) = 2 \frac{\left\langle u, v \right\rangle }{\left\| u \right\| ^2}u - v. \end{equation}
0.1.5

Proof

略.

注意 0.1.8
#

以前,\(\alpha \)に関するreflectionは

\begin{equation} s_\alpha (\lambda ) = \lambda - 2\frac{\left\langle \alpha , \lambda \right\rangle }{\left\langle \alpha , \alpha \right\rangle } \alpha . \end{equation}
0.1.6

と表せることを見た. 定理 0.1.7からわかるように,\(s_{\bm {k}\alpha }\)は\(s_\alpha \)と逆向き(すなわち,\(s_\alpha = s_{H_\alpha } = s_{(\mathbb {R}\alpha )^\perp }\))である.

定理 0.1.9
#

任意の\(x \in E\)に対して次が成り立つ:

\begin{equation} s_K(x) = x \iff x \in K. \end{equation}
0.1.7

Proof

略.

定理 0.1.10
#

\(E'\)を\(\bm {k}\)-内積空間,\(f : E \rightarrow E'\)を線形同型な等長写像(すなわち,\(\left\| f(x) \right\| = \left\| x \right\| \))とする. このとき,任意の\(x \in E'\)に対して次が成り立つ:

\begin{equation} s_{f(K)}(x) = f(s_K(f^{-1}(x))). \end{equation}
0.1.8

Proof

略.

定理 0.1.11
#

任意の\(v \in E\)に対し,\(v \in K^\perp \)なら\(s_K(v) = -v\)である.

Proof

略.

定義 0.1.12
#

\(O(V)\)の部分群\(W\)が次を満たすとき,\(W\)をfinite reflection groupという:

  1. \(W\)はfinite group,

  2. \(W\)はreflectionsで生成される,すなわち

    \begin{equation} \forall w \in W,\ \exists s_{\alpha _1}, \ldots , s_{\alpha _r} \in W \textrm{: reflections} \ \text{s.t.}\ w = s_{\alpha _1} \cdots s_{\alpha _r}. \end{equation}
    0.1.9

注意 0.1.13
#

\(s_\alpha ^2 = 1.\)

定義 0.1.14
#

finite reflection group \(W\)が次を満たすとき,\(W\)はessentialであるという:

\begin{equation} \operatorname {Fix}(W) := \left\lbrace \lambda \in V \mathrel {} \middle | \mathrel {} \forall w \in W,\ w(\lambda ) = \lambda \right\rbrace = \{ 0\} . \end{equation}
0.1.10

注意 0.1.15
#

\(W\)がessentialでないとき,\(V = \operatorname {Fix}(W) \oplus \operatorname {Fix}(W)^\perp \)である. また,部分空間\(\operatorname {Fix}(W)^\perp \)上では\(W\)はessentialである.

定義 0.1.16
#

空でない\(V\)の有限部分集合\(\Phi \)が次を満たすとき,\(\Phi \)をroot systemという:

  1. \(\Phi \)は\(V\)を生成する,

  2. \(\forall \alpha \in \Phi ,\ \mathbb {R}\alpha \cap \Phi = \{ \pm \alpha \} \),

  3. \(\forall \alpha , \beta \in \Phi ,\ s_\beta (\alpha ) \in \Phi \).

また,\(\Phi \)の元をroot vector,または単にrootという.

定義 0.1.17
#

root system \(\Phi \)が次を満たすとき,crystallographicであるという:

  1. \(\forall \alpha , \beta \in \Phi ,\ 2 \dfrac {\left\langle \alpha , \beta \right\rangle }{\left\langle \alpha , \alpha \right\rangle } \in \mathbb {Z}\).

finite reflection groupが与えられると,それに対応するroot systemが存在する:

命題 0.1.18

\(W\)をessential finite reflection groupとする. このとき,\(\Phi := \left\lbrace \alpha \in V \mathrel {} \middle | \mathrel {} \left\| \alpha \right\| = 1,\ s_\alpha \in W \right\rbrace \)はroot systemである.

Proof

1を示すために,\(\operatorname {Fix}(W) = \bigcap _{\alpha \in \Phi } H_\alpha \)を示す:

\((\subseteq )\)任意に\(\lambda \in \operatorname {Fix}(W),\ \alpha \in \Phi \)をとると,\(s_\alpha \in W\)であるから\(s_\alpha (\lambda ) = \lambda \)である. よって,

\begin{equation} \left\langle \alpha , \lambda \right\rangle = \left\langle \alpha , s_\alpha (\lambda ) \right\rangle = \left\langle s_\alpha ^{-1}(\alpha ), \lambda \right\rangle = \left\langle s_\alpha (\alpha ), \lambda \right\rangle = \left\langle -\alpha , \lambda \right\rangle = -\left\langle \alpha , \lambda \right\rangle . \qquad \therefore \left\langle \alpha , \lambda \right\rangle = 0. \end{equation}
0.1.11

したがって,\(\lambda \in H_\alpha \)である.

\((\supseteq )\) \(\lambda \in \bigcap _{\alpha \in \Phi } H_\alpha \)とする. 任意に\(w \in W\)をとり,\(w = s_{\alpha _1} \cdots s_{\alpha _r}\)とreflectionsの積で書く. ただし,\(\left\| \alpha _1 \right\| = \cdots = \left\| \alpha _r \right\| = 1\)としておく. すると,\(\alpha _1, \ldots , \alpha _r \in \Phi \)であるから,\(\lambda \in H_{\alpha _i}\)である. よって,

\begin{equation} w(\lambda ) = (s_{\alpha _1} \cdots s_{\alpha _{r-1}} s_{\alpha _r})(\lambda ) = (s_{\alpha _1} \cdots s_{\alpha _{r-1}})(\lambda ) = \cdots = \lambda . \end{equation}
0.1.12

よって,\(W\)はessentialだから,

\begin{equation} \{ 0\} = \operatorname {Fix}(W) = \bigcap _{\alpha \in \Phi } H_\alpha . \end{equation}
0.1.13

したがって,

\begin{equation} V = \operatorname {Fix}(W)^\perp = \left( \bigcap _{\alpha \in \Phi } H_\alpha \right)^\perp = \sum _{\alpha \in \Phi } H_\alpha ^\perp = \sum _{\alpha \in \Phi } \mathbb {R}\alpha \end{equation}
0.1.14

であるから\(\Phi \)は\(V\)を生成する.

2は\(\left\| \alpha \right\| = 1\)からわかる.

3を示す. \(\forall \alpha , \beta \in \Phi \)に対し,\(\left\| s_\beta (\alpha ) \right\| = \left\| \alpha \right\| = 1\)である. また,補題 ??より,\(s_{s_\beta (\alpha )} = s_\beta s_\alpha s_\beta ^{-1} \in W\)である. よって,\(s_\beta (\alpha ) \in \Phi \)が成り立つ.

逆に,root systemが与えられると,それに対応するfinite reflection groupが存在する:

命題 0.1.19

\(\Phi \subseteq V\)をroot systemとする. このとき,\(\left\lbrace s_\alpha \mathrel {} \middle | \mathrel {} \alpha \in \Phi \right\rbrace \)が生成する群\(W_\Phi \)はessential finite reflection groupである.

Proof

命題 0.1.18の証明中1で,\(\Phi = \{ \alpha _1 \ldots , \alpha _r\} \)とし,\(W\)を\(W_\Phi \)と読み替えれば\(\operatorname {Fix}(W_\Phi ) = \bigcap _{\alpha \in \Phi } H_\alpha \)が成り立つ. よって,\(\Phi \)は\(V\)を生成するから\(\operatorname {Fix}(W_\Phi )^\perp = \sum _{\alpha \in \Phi } \mathbb {R}\alpha = V\)である. したがって,\(W_\Phi \)はessentialである.

あとは\(W_\Phi \)が有限であることを示せば良い. 3より,\(\forall \alpha \in \Phi ,\ s_\alpha (\Phi ) = \Phi \)であるから\(\forall w \in W,\ w(\Phi ) = \Phi \)である. すなわち,\(w\)は\(\Phi \)上の置換とみなせる. よって,

\begin{equation} \begin{array}{rccc} p:& W_\Phi & \longrightarrow & \operatorname {Perm}(\Phi ) \\ & \rotatebox [origin=c]{90}{$\in $} & & \rotatebox [origin=c]{90}{$\in $} \\ & w & \longmapsto & (\alpha \mapsto w(\alpha )) \end{array} \end{equation}
0.1.15

と定めると,これはgroup homである(\(\operatorname {Perm}(\Phi )\)は\(\Phi \)の置換群). これが単射であることを示せば,\(\left| W_\Phi \right| \le \left| \operatorname {Perm}(\Phi ) \right| {\lt} \infty \)が示せる.

\begin{align} w \in \operatorname {Ker}p & \iff \forall \alpha \in \Phi ,\ w(\alpha ) = \alpha \\ & \iff w = 1 \end{align}

であるから,\(\operatorname {Ker}p = \{ 1\} \)であり,単射であることが示せた.

root systemはfinite reflection groupの生成系を与えているが,群の生成元の個数はできるだけ少なくしたい. そこで,root systemを“うまく”取る方法を考える.

定義 0.1.20
#

\(\Phi \subseteq V\)をroot systemとし,\(p \in V \setminus \{ 0\} \)は\(\forall \alpha \in \Phi ,\ \left\langle \alpha , p \right\rangle \ne 0\)を満たすとする. このとき,\(\Pi := \left\lbrace \alpha \in \Phi \mathrel {} \middle | \mathrel {} \left\langle \alpha , p \right\rangle {\gt} 0 \right\rbrace \)をpositive root systemという.

注意 0.1.21
#

\(\Pi \)は\(p\)の取り方による.

定義 0.1.22
#

\(\Pi \)をpositive root systemとする. \(\Delta \subseteq \Pi \)が次を満たすとき,\(\Delta \)をsimple root systemという:

  1. \(\Delta \)は\(V\)の基底,

  2. \(\forall \alpha \in \Pi ,\ \exists c_\beta \ge 0 \ \text{s.t.}\ \alpha = \sum _{\beta \in \Delta } c_\beta \beta \).

simple root systemは必ず存在し,しかも一意である:

事実 0.1.23
#

\(\Phi \)をroot system,\(\Pi \)をpositive root systemとする.

  1. \(\exists ! \Delta \subseteq \Phi \) : simple root system,

  2. \(W_\Phi \)は\(\left\lbrace s_\alpha \mathrel {} \middle | \mathrel {} \alpha \in \Delta \right\rbrace \)で生成される.

以下,essential finite reflection group \(W\)に対し,そのroot systemを\(\Phi \),そのsimple root systemを\(\Delta \)とする. また,\(\alpha , \beta \in \Delta \)に対し,\(m(\alpha , \beta )\)を\(s_\alpha s_\beta \)の位数,\(c(\beta , \alpha ) = 2\dfrac {\left\langle \beta , \alpha \right\rangle }{\left\langle \alpha , \alpha \right\rangle }\)とする.

注意 0.1.24
#

\(s_\alpha ^2 = 1\)より\(m(\alpha , \alpha ) = 1\)である. また,\(s_\beta s_\alpha = (s_\alpha s_\beta )^{-1}\)より\(m(\alpha , \beta ) = m(\beta , \alpha )\)である.

補題 0.1.25
#

\(\alpha \ne \beta \in \Delta \)とする.このとき,次が成り立つ:

\begin{equation} \left\langle \alpha , \beta \right\rangle = -\left\| \alpha \right\| \left\| \beta \right\| \cos \frac{\pi }{m(\alpha , \beta )}. \end{equation}
0.1.18

命題 0.1.26

\(\alpha \)と\(\beta \)は線型独立とする.\(\Phi \)がcrystallographicなとき,\(m(\alpha , \beta ) = 2, 3, 4, 6\)である.

Proof

補題 0.1.25より,

\begin{equation} c(\beta , \alpha ) = 2\frac{\left\langle \beta , \alpha \right\rangle }{\left\langle \alpha , \alpha \right\rangle } = 2\frac{-\left\| \alpha \right\| \left\| \beta \right\| \cos \frac{\pi }{m(\alpha , \beta )}}{\left\| \alpha \right\| ^2} = -2\frac{\left\| \beta \right\| }{\left\| \alpha \right\| } \cos \frac{\pi }{m(\alpha , \beta )} \end{equation}
0.1.19

であるから,

\begin{equation} c(\alpha , \beta ) c(\beta , \alpha ) = \left( -2\frac{\left\| \alpha \right\| }{\left\| \beta \right\| } \cos \frac{\pi }{m(\beta , \alpha )} \right) \left( -2\frac{\left\| \beta \right\| }{\left\| \alpha \right\| } \cos \frac{\pi }{m(\alpha , \beta )} \right) = 4\cos ^2 \frac{\pi }{m(\alpha , \beta )} \end{equation}
0.1.20

である. \(\Phi \)はcrystallographic,すなわち\(c(\alpha , \beta ), c(\beta , \alpha ) \in \mathbb {Z}\)であるから,\(c(\alpha , \beta ) c(\beta , \alpha ) = 0, 1, 2, 3, 4\)である.

\(c(\alpha , \beta ) c(\beta , \alpha ) = 4\)のとき,\(m(\alpha , \beta ) = 1\)となるが,これは\(\alpha \)と\(\beta \)の線型独立性に矛盾する.

\(c(\alpha , \beta ) c(\beta , \alpha ) = 0, 1, 2, 3\)のとき,それぞれ次のようになる:

Table 1 \(c(\alpha , \beta ) c(\beta , \alpha )\)と\(m(\alpha , \beta )\)の関係

\(c(\alpha , \beta ) c(\beta , \alpha )\)

\(\cos ^2 \frac{\pi }{m(\alpha , \beta )}\)

\(\cos \frac{\pi }{m(\alpha , \beta )}\)

\(m(\alpha , \beta )\)

\(0\)

\(0\)

\(0\)

\(2\)

\(1\)

\(1/4\)

\(1/2\)

\(3\)

\(2\)

\(1/2\)

\(1/\sqrt2\)

\(4\)

\(3\)

\(3/4\)

\(\sqrt{3}/2\)

\(6\)

定義 0.1.27
#

\(\Delta = \{ \alpha _1, \ldots , \alpha _r\} \)とする. このとき,\(r\)次正方行列\(C := (c(\alpha _i, \alpha _j))\)を\(\Phi \)のCartan matrixという.

定義 0.1.28
#

\(\Delta = \{ \alpha _1, \ldots , \alpha _r\} \)とする. このとき,\(\Phi \)のCoxeter diagramを次のように定義する:

  1. \(r\)個の頂点を持つ,

  2. 頂点\(i\)と頂点\(j\)は\(m(\alpha _i, \alpha _j)\)と書かれた辺で結ぶ,

  3. 特に,\(m(\alpha _i, \alpha _j) = 2, 3, 4, 6\)のときは,2の代わりに表 1で対応する\(c(\alpha _i, \alpha _j) c(\alpha _j, \alpha _i)\)本の辺で結ぶ.

定義 0.1.29
#

Coxeter diagramに次の条件を追加したものをCoxeter-Dynkin diagramという:

  1. \(\left| c(\alpha _i, \alpha _j) \right| {\lt} \left| c(\alpha _j, \alpha _i) \right|\)のとき,頂点\(i\)から頂点\(j\)に向きをつける.

定義 0.1.30
#

root system \(\Phi \)で生成されるlattice,すなわち次の集合\(\Lambda \)をroot latticeという:

\begin{equation} \Lambda := \left\lbrace \sum _{i=1}^{r} s_i \alpha _i \mathrel {} \middle | \mathrel {} \alpha _i \in \Phi ,\ s_i \in \mathbb {Z} \right\rbrace . \end{equation}
0.1.21

0.2 \(E_8\) lattice

定義 0.2.1
#

\(E_8\)格子とは,integralLatticeであって,even unimodularかつランクが\(8\)であるもののことである.

定理 0.2.2
#

2つの\(E_8\)格子\(\Lambda _1,\ \Lambda _2\)は同型である.

Proof

sorry.

定義 0.2.3
#

\(E_8\)のCartan行列を\(M_0\),それを1行ずつ行基本変形していき(その過程の行列を\(M_1, M_2, \ldots , M_6\)とする)上三角にしたものを\(M_7\)とする:

\begin{gather} M_0 := \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix},\\ M_7 := \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3/2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5/6 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4/5 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3/4 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2/3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/2 \end{pmatrix}. \end{gather}
補題 0.2.4
#

\(M_7\)は上三角である.

Proof

略.

補題 0.2.5
#

\(\det M_7 = 1\)である.

Proof

補題 0.2.4より,\(M_7\)の行列式は対角成分たちの積であるから

\begin{equation} \det M_7 = 2 \cdot 2 \cdot (3 / 2) \cdot (5 / 6) \cdot (4 / 5) \cdot (3 / 4) \cdot (2 / 3) \cdot (1 / 2)\\ = 1. \end{equation}
0.2.3

定理 0.2.6
#

\(E_8\)のCartan行列の行列式は\(1\)である.

Proof

補題 0.2.5より

\begin{equation} (\textrm{求める行列式}) = \det M_0 = \det M_1 = \cdots = \det M_7 = 1. \end{equation}
0.2.4

定義 0.2.7
#

\(B\)を\(E_8\)のCartan行列\(C (= M_0) \in \operatorname {M}_8(\mathbb {Z})\)から定まる双線型形式とする:

\begin{equation} B(x, y) := {}^t\! x C y = \left\langle x, Cy \right\rangle \qquad (\forall x, y \in \mathbb {Z}^8). \end{equation}
0.2.5

補題 0.2.8
#

任意の\(x \in \mathbb {Z}^8\)に対し,次が成り立つ:

\begin{equation} \begin{split} B(x, x) ={}& 2 (x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2 + x_6^2 + x_7^2\\ & - (x_0 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 + x_3 x_4 + x_4 x_5 + x_5 x_6 + x_6 x_7)) \end{split} \end{equation}
0.2.6

Proof

内積の形にして,あとは具体的に計算:

\begin{equation} B(x, x) = \left\langle x, Cx \right\rangle = (\textrm{右辺}). \end{equation}
0.2.9

補題 0.2.9
#

任意の\(x \in \mathbb {Z}^8\)に対し,平方完成すると次のようになる:

\begin{equation} \begin{split} B(x, x) ={}& \left( \sqrt{2} \, x_0 - \sqrt{\frac{1}{2}} \, x_2 \right)^2 + \left( \sqrt{2} \, x_1 - \sqrt{\frac{1}{2}} \, x_3 \right)^2 + \left( \sqrt{\frac{3}{2}} \, x_2 - \sqrt{\frac{2}{3}} \, x_3 \right)^2 \\ & + \left( \sqrt{\frac{5}{6}} \, x_3 - \sqrt{\frac{6}{5}} \, x_4 \right)^2 + \left( \sqrt{\frac{4}{5}} \, x_4 - \sqrt{\frac{5}{4}} \, x_5 \right)^2 + \left( \sqrt{\frac{3}{4}} \, x_5 - \sqrt{\frac{4}{3}} \, x_6 \right)^2 \\ & + \left( \sqrt{\frac{2}{3}} \, x_6 - \sqrt{\frac{3}{2}} \, x_7 \right)^2 + \frac{1}{2} \, x_7^2 \end{split} \end{equation}
0.2.10

Proof

左辺に補題 0.2.8を代入して計算すれば得られる.

定理 0.2.10
#

\(\forall x, y, z \in \mathbb {Z}^8,\ B(x+y, z) = B(x, z) + B(y, z)\).

Proof

計算するだけ.

定理 0.2.11
#

\(\forall x, y \in \mathbb {Z}^8,\ B(x, y) = B(y, x)\).

Proof

計算するだけ.

定理 0.2.12
#

\(\forall x \in \mathbb {Z}^8,\ B(x, x) \ge 0\).

Proof

補題 0.2.9より,\(B(x, x)\)は平方の和で表せるから成り立つ.

定理 0.2.13
#

\(\forall x \in \mathbb {Z}^8,\ B(x, x) = 0 \implies x = 0\).

Proof

補題 0.2.9より,\(B(x, x)\)は平方の和で表せ,\(= 0\)とすると各項が\(0\)である. よって,最後の項に注目すると,\(x_7 = 0\)である. したがって,最後から2番目の項に注目すると,\(x_6 = 0\)である. これを繰り返すと,\(x_0 = \cdots = x_7 = 0\)を得る.

定理 0.2.14
#

\(\forall x \in \mathbb {Z}^8,\ 2 \mid \left\langle x, x \right\rangle _{\mathbb {Z}}\).

Proof

補題 0.2.8より従う.

定理 0.2.15

\(E_8\)格子はunimodularである.

Proof

sorry.

定理 0.2.16
#

\(E_8\)格子は存在する.

Proof

sorry.

定理 0.2.17

\(E_8\)格子\(\Lambda \)に対し,\(\forall n \in \mathbb {N},\ \# \left\lbrace x \in \Lambda \mathrel {} \middle | \mathrel {} B(x, x) = n \right\rbrace {\lt} \infty \).

Proof

sorry.

補題 0.2.18
#

\(E_8\)格子\(\Lambda \)に対し,\(\# \left\lbrace x \in \Lambda \mathrel {} \middle | \mathrel {} B(x, x) = 2 \right\rbrace = 240\).

Proof

sorry.